Le critère de Kelly calcule la fraction de bankroll à engager à partir d'un edge supposé connu : f* = (b·p − q) / b, avec b la cote décimale moins 1, p la probabilité estimée et q = 1 − p. Avec une cote de 2,20, une probabilité estimée à 50 % et une bankroll de 1 000 € : f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 8,33 %, soit une mise de 83,33 € (41,67 € en demi-Kelly). Le calcul suppose p connue avec certitude — en pratique elle est toujours estimée, et une surestimation produit un surdimensionnement de la mise.
Ce que la formule optimise
Le critère de Kelly ne calcule pas un gain espéré : il dimensionne une fraction de bankroll qui maximise le taux de croissance géométrique d'un capital répété sur un grand nombre de décisions. Ce n'est pas la même chose que maximiser l'espérance d'un pari isolé, ni son gain le plus probable.
La distinction compte parce qu'une fraction trop grande, même avec un edge réel, ralentit la croissance à long terme au lieu de l'accélérer : le capital rebondit moins bien après une série de pertes. Kelly répond à une question précise — quelle part de la bankroll maximise la croissance composée — pas à la question plus large de « combien parier ».
Ce que « optimal » ne signifie pas ici. Le critère de Kelly maximise un taux de croissance géométrique sur une infinité de répétitions théoriques, pas le gain d'un pari, ni même l'espérance sur un nombre fini de paris. Sur un historique court, une fraction plus petite que f* produit souvent un résultat final supérieur.
La formule
Trois variables suffisent : la cote décimale, la probabilité estimée, et rien d'autre.
b = cote décimale − 1
p = probabilité estimée, q = 1 − p
f* = (b·p − q) / b
Avec une cote de 2,20, une probabilité estimée à 50 % et une bankroll de 1 000 € : b = 1,20, q = 0,50, f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 0,10 / 1,20 = 8,33 %, soit une mise de 83,33 €.
Calculer la fraction de Kelly et la mise qu'elle implique
Saisis la cote proposée, ta probabilité estimée et ta bankroll.
Virgule ou point acceptés : 2,20 comme 2.20.
Ton estimation, qui doit venir d'une autre source que la cote elle-même.
Sert uniquement à illustrer la mise. Aucune donnée n'est enregistrée.
Résultat
- Fraction de Kelly
- 8,33 %
- Mise issue du calcul
- 83,33 €
- Mise à demi-Kelly
- 41,67 €
Attention :
La fraction dépend entièrement de ta probabilité estimée : une surestimation de p produit un surdimensionnement de la mise. Ce résultat n'est jamais une mise conseillée.
Une autre lecture du même calcul, cohérente avec la page sur la value bet : f* = valeur théorique par unité misée ÷ b. Ce numérateur est la même grandeur que celle détaillée sur la page expected value — l'edge de +10 % sur cette cote, ou sa valeur théorique — donc f* = 0,10 / 1,20, résultat identique. La fraction de Kelly n'est jamais qu'un edge redimensionné par la cote.
D'où vient la formule
Kelly a publié cette formule en 1956, dans un cadre de théorie de l'information, pas de paris sportifs. Thorp l'a appliquée aux jeux de hasard favorables — le blackjack d'abord, puis les marchés financiers — et a formalisé sa version fractionnée comme réponse pratique à l'incertitude sur p. Les paris sportifs en héritent directement : la formule reste identique, seule la source de l'estimation change.
Pourquoi la croissance géométrique change la question
Un capital qui subit une perte de 50 % a besoin d'un gain de 100 % pour revenir à son niveau de départ — pas de 50 %. C'est cette asymétrie que la croissance géométrique prend en compte, et qu'une espérance arithmétique ignore complètement.
Maximiser l'espérance arithmétique d'un pari isolé peut conduire à engager des fractions énormes de la bankroll dès qu'un edge existe, parce qu'un gain isolé compense toujours une perte isolée dans ce calcul. Maximiser la croissance géométrique d'une bankroll répétée introduit au contraire une pénalité pour la variance elle-même : une fraction trop grande, même avec un edge positif, finit par réduire le taux de croissance composé au lieu de l'augmenter. C'est ce compromis entre edge et variance que résout la formule de Kelly — et lui seul.
Pourquoi f* est hypersensible à l'erreur sur p
La formule ne connaît qu'une seule source d'incertitude : la probabilité saisie. Elle la traite pourtant comme si elle était connue avec certitude, ce qu'aucune estimation de terrain ne peut garantir.
Une surestimation de quelques points de p suffit à faire basculer une fraction raisonnable en surdimensionnement. Sur la même cote de 2,20, une probabilité surestimée à 55 % au lieu de 50 % réels fait passer f* de 8,33 % à 16,67 % — le double, pour un écart d'estimation de cinq points seulement. C'est cette sensibilité, pas la formule elle-même, qui rapproche du risque de ruine quand elle est appliquée en Kelly plein.
Le cas f* ≤ 0 : pas d'edge, pas de mise
Quand la probabilité estimée ne dépasse pas celle qu'exige la cote, f* est négatif ou nul — et la formule n'a rien à dimensionner. Ce n'est pas une erreur de calcul : c'est le résultat attendu dès que l'edge théorique n'est pas positif.
Sur la même cote de 2,20, une probabilité estimée à 40 % au lieu de 50 % fait basculer l'edge dans le négatif : b·p − q = 1,20 × 0,40 − 0,60 = −0,12, donc f* = −0,12 / 1,20 = −10 %. La formule ne produit alors aucune mise à engager — ni positive, ni négative au sens d'une position inversée.
Un f* négatif ne veut pas dire « parier contre » ni « miser à l'envers ». Il n'existe pas de position symétrique côté paris sportifs, contrairement à d'autres marchés. Un f* ≤ 0 signifie simplement : aucune mise, avec cette probabilité et cette cote.
Kelly plein, jamais utilisé seul
Le Kelly plein maximise la croissance théorique à long terme, au prix d'une variance considérable — des baisses de bankroll de moitié ou plus restent statistiquement possibles même avec un edge réel.
| Fraction engagée | Effet sur la croissance | Effet sur les baisses |
|---|---|---|
| Kelly plein (f*) | Croissance théorique maximale | Baisses de bankroll très marquées, même avec un edge réel |
| Demi-Kelly (f*/2) | Environ les trois quarts de la croissance théorique | Baisses nettement réduites |
| Quart-Kelly (f*/4) | Croissance plus lente | Baisses limitées, tolérance élevée à une erreur sur p |
Le Kelly fractionné sacrifie une partie de la croissance théorique pour réduire fortement l'exposition à une erreur d'estimation — l'unique variable que la formule ne sait pas mesurer elle-même. C'est la seule forme réellement appliquée en pratique, précisément parce que p n'est jamais connue avec la certitude que la formule suppose.
La formule a une autre propriété peu intuitive : au-delà de f*, chaque fraction supplémentaire réduit le taux de croissance composé plutôt que de l'augmenter, jusqu'à l'annuler entièrement à 2f*. Miser le double de la fraction calculée ne double pas le risque pour un gain proportionnel — cela ramène la croissance théorique à zéro, avec toute la variance d'une mise deux fois plus grosse.
« Kelly maximise le gain. »
Non : Kelly maximise un taux de croissance géométrique théorique, calculé sur une infinité de répétitions et une probabilité supposée exacte. Sur un historique réel, fini et bâti sur une estimation approximative, une fraction plus petite que f* produit très souvent un meilleur résultat.
Ce que le résultat du calculateur n'est pas
Le résultat affiché par le calculateur ci-dessus est la fraction que la formule implique pour la probabilité saisie — jamais une mise conseillée par OddScore. La plateforme ne produit aucune probabilité sportive indépendante du marché : elle ne peut donc ni valider ni corriger la valeur de p que le lecteur entre.
La qualité de la fraction affichée dépend entièrement de celle de cette estimation, exactement comme l'edge d'une value bet dépend de la probabilité qui l'alimente. Personne — ni la formule, ni la plateforme — ne peut garantir cette qualité à la place du lecteur.
Kelly parmi les plans de mise
Le critère de Kelly n'est qu'une des façons de dimensionner une mise à partir d'une bankroll. D'autres méthodes existent — mise fixe, pourcentage fixe, progressions — chacune avec un effet différent sur le risque de ruine et l'amplitude des baisses.
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Jeu responsable. Une mise peut être perdue intégralement, quelle que soit la fraction calculée. Ne consacre jamais aux paris de l'argent nécessaire au quotidien, au logement, aux factures ou à ton épargne de sécurité, et utilise les outils de limitation ou d'auto-exclusion proposés par les opérateurs agréés. En savoir plus sur le jeu responsable.
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Comparer les plans de miseQuestions fréquentes
Qu'est-ce que le critère de Kelly ?
C'est une formule qui calcule la fraction de bankroll à engager sur un pari, à partir d'une cote et d'une probabilité estimée. Elle maximise le taux de croissance géométrique d'une bankroll répétée sur un grand nombre de décisions, pas le gain d'un pari isolé.
Comment calculer la fraction de Kelly ?
f* = (b·p − q) / b, avec b la cote décimale moins 1, p la probabilité estimée et q = 1 − p. Avec une cote de 2,20 et une probabilité estimée à 50 %, f* vaut (0,60 − 0,50) / 1,20, soit 8,33 % de la bankroll.
Le critère de Kelly maximise-t-il le gain d'un pari ?
Non. Il maximise le taux de croissance géométrique d'une bankroll sur une longue série de décisions répétées, pas l'espérance d'un pari isolé ni son gain le plus probable. Un pari isolé peut très bien perdre.
Que se passe-t-il si f* est négatif ou nul ?
Aucune mise n'est engagée. Un f* ≤ 0 signifie que la probabilité estimée n'est pas jugée supérieure à celle qu'exige la cote proposée : la formule n'a rien à dimensionner.
Pourquoi utiliser un Kelly fractionné plutôt que le Kelly plein ?
Parce que la formule est hypersensible à l'erreur sur p, presque toujours mal connue en pratique. Une fraction du f* calculé — demi ou quart de Kelly — réduit fortement la variance en échange d'une croissance théorique plus lente.
Le critère de Kelly protège-t-il du risque de ruine ?
Non, pas s'il repose sur une probabilité surestimée. Une estimation trop optimiste produit une fraction trop grande, ce qui rapproche d'un risque de ruine que la formule est censée éviter quand p est correcte.
OddScore recommande-t-il une mise à partir du critère de Kelly ?
Non. Le calculateur affiche la fraction qu'implique la probabilité saisie par le lecteur, jamais une mise conseillée par la plateforme. La qualité du résultat dépend entièrement de celle de l'estimation fournie.
Sources & méthodologie
Cette page s'appuie sur l'article fondateur de Kelly sur le dimensionnement optimal d'une mise répétée et sur les travaux de Thorp qui l'ont appliqué aux jeux et marchés favorables, ainsi que sur la méthodologie d'analyse des cotes développée par OddScore.
- Présenter la formule comme un dimensionnement conditionnel à une probabilité fournie par le lecteur, jamais comme une mise recommandée par la plateforme.
- Traiter le cas f* ≤ 0 explicitement plutôt que de le masquer derrière une mise à zéro silencieuse.
- Renvoyer la sensibilité à l'erreur d'estimation de p vers la page dédiée au risque de ruine plutôt que de la développer en double ici.
- Situer le Kelly fractionné, seule forme réellement utilisée, plutôt que le Kelly plein théorique.