Critère de Kelly : ce que la formule dimensionne réellement

Ce que Kelly cherche à optimiser

Le critère de Kelly ne calcule pas un gain espéré. Il te donne la part de ta bankroll qui fait grossir ton capital le plus vite possible sur une très longue série de décisions. On parle de taux de croissance géométrique.

Maximiser l'espérance d'un pari isolé, c'est autre chose. Viser son gain le plus probable aussi. Et ça change tout : avec un vrai edge, une fraction trop grosse freine la croissance au lieu de l'accélérer. Après une série de pertes, le capital remonte moins bien.

Kelly répond donc à une question étroite. Quelle part de la bankroll maximise la croissance composée ? Il ne répond pas à « combien je mets sur ce match ».

La formule en une ligne

Il te faut deux entrées, pas une de plus : la cote décimale et ta probabilité estimée.

b = cote décimale − 1 p = probabilité estimée, q = 1 − p f* = (b·p − q) / b

Prends une cote de 2,20, une probabilité estimée à 50 % et une bankroll de 1 000 €. Tu as b = 1,20 et q = 0,50. Donc f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 0,10 / 1,20 = 8,33 %. Ça fait une mise de 83,33 €.

Tu peux aussi lire le même calcul autrement, comme sur la page value bet. Le numérateur, c'est la valeur théorique par unité misée. C'est la grandeur que détaille la page expected value : l'edge de +10 % sur cette cote, ou sa valeur théorique. Divise-le par b et tu retombes sur f* = 0,10 / 1,20. Une fraction de Kelly, au fond, c'est un edge remis à l'échelle de la cote.

Une formule née loin des stades

Kelly a publié cette formule en 1956, dans un article de théorie de l'information. Rien à voir avec le sport.

Thorp l'a ensuite appliquée aux jeux de hasard favorables. Le blackjack d'abord, puis les marchés financiers. C'est lui qui a formalisé la version fractionnée, comme réponse pratique à l'incertitude sur p. Les paris sportifs l'ont reprise telle quelle. La formule ne bouge pas. Seule la source de l'estimation change.

Pourquoi la croissance composée change la question

Si ton capital perd 50 %, il lui faut un gain de 100 % pour revenir au départ. Pas 50 %. La croissance géométrique tient compte de cette asymétrie. L'espérance arithmétique, elle, l'ignore complètement.

Si tu ne regardes que l'espérance d'un pari isolé, tu peux finir par engager une énorme part de ta bankroll dès qu'un edge apparaît. Dans ce calcul, un gain compense toujours une perte. La croissance composée d'une bankroll répétée ajoute une pénalité : la variance elle-même. Au-delà d'un certain point, même avec un edge positif, miser plus fait baisser la croissance. Kelly trouve l'équilibre entre l'edge et cette variance. C'est tout ce qu'il fait.

Pourquoi f* s'emballe au moindre écart sur p

La formule n'a qu'une source d'incertitude, la probabilité que tu saisis. Et elle la traite comme une certitude. Aucune estimation de terrain ne peut tenir cette promesse.

Quelques points de trop sur p suffisent pour passer d'une fraction raisonnable à une mise surdimensionnée. Garde la cote de 2,20. Si tu estimes la probabilité à 55 % alors qu'elle vaut 50 %, f* passe de 8,33 % à 17,50 %. Plus du double, pour cinq points d'écart seulement.

C'est cette sensibilité, plus que la formule, qui te rapproche du risque de ruine quand tu joues le Kelly plein.

Le cas f* ≤ 0 : sans edge, pas de mise

Quand ta probabilité estimée ne dépasse pas celle qu'exige la cote, f* tombe à zéro ou en dessous. La formule n'a alors plus rien à dimensionner. Ce n'est pas un bug. C'est le résultat normal dès que l'edge théorique n'est pas positif.

Toujours sur la cote de 2,20, estime la probabilité à 40 % au lieu de 50 %. L'edge bascule dans le négatif : b·p − q = 1,20 × 0,40 − 0,60 = −0,12, donc f* = −0,12 / 1,20 = −10 %. Aucune mise n'en sort. Ni positive, ni inversée.

Fais le test dans le calculateur plus haut avec ces 40 %. Tu ne verras pas « −10 % » s'afficher. Tu verras un bandeau qui dit qu'aucun edge positif n'existe avec ces valeurs. C'est le comportement que je préfère sur cette page, parce qu'un chiffre négatif à l'écran finit toujours par se voir prêter un sens qu'il n'a pas.

Le Kelly plein, personne ne le joue seul

Le Kelly plein maximise la croissance théorique à long terme, au prix d'une variance énorme. Même avec un vrai edge, voir ta bankroll fondre de moitié ou plus reste statistiquement possible.

Le Kelly fractionné abandonne une partie de la croissance théorique. En échange, il te protège beaucoup mieux d'une erreur d'estimation, la seule variable que la formule ne sait pas mesurer. C'est la forme qu'on applique en pratique, justement parce que p n'est jamais aussi sûre que la formule le suppose.

Autre propriété contre-intuitive. Au-delà de f*, chaque fraction en plus réduit la croissance composée. À 2f*, elle tombe à zéro. Miser le double de la fraction calculée ne double donc pas ton gain potentiel. Ça ramène la croissance théorique à zéro, avec toute la variance d'une mise deux fois plus grosse.

Ce que le calculateur ne te dit pas

Le résultat du calculateur, c'est la fraction qu'implique ta probabilité. Pas une mise conseillée par OddScore.

OddScore ne produit pas de probabilité sportive indépendante du marché. La plateforme ne peut donc ni valider ni corriger le p que tu entres. Ta fraction vaut exactement ce que vaut ton estimation, comme l'edge d'une value bet dépend de la probabilité qui l'alimente. Ni la formule ni la plateforme ne peuvent garantir cette estimation à ta place.

Kelly face aux autres plans de mise

Kelly n'est qu'une façon parmi d'autres de dimensionner une mise à partir d'une bankroll. Il y a aussi la mise fixe, le pourcentage fixe, les progressions. Chacune pèse différemment sur le risque de ruine et sur l'ampleur des baisses.

Comparer les plans de mise, jugés sur le risque plutôt que sur un rendement promis →

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