Critério de Kelly: o que a fórmula dimensiona realmente

O que o Kelly procura otimizar

O critério de Kelly não calcula um ganho esperado. Dá-te a fração da bankroll que faz o teu dinheiro crescer mais depressa ao longo de uma série muito longa de decisões. É a taxa de crescimento geométrico.

Maximizar o valor esperado de uma aposta é outro objetivo. Perseguir o resultado mais provável também. A diferença pesa: mesmo com uma vantagem real, uma fração grande demais abranda o crescimento em vez de o acelerar. Depois de uma série de perdas, a bankroll recupera mais devagar.

O Kelly responde, por isso, a uma pergunta estreita. Que fração da bankroll maximiza o crescimento composto? Não te diz quanto pôr no jogo desta noite.

A fórmula numa linha

Precisas de dois dados: a odd decimal e a tua probabilidade estimada.

b = odd decimal − 1 p = probabilidade estimada, q = 1 − p f* = (b·p − q) / b

Imagina uma odd de 2,20, uma probabilidade estimada de 50 % e uma bankroll de 1.000 €. Obténs b = 1,20 e q = 0,50. Logo f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 0,10 / 1,20 = 8,33 %. Uma aposta de 83,33 €.

Podes ler o mesmo cálculo de outra forma, como na página sobre o value bet. O numerador é o valor esperado por unidade apostada, a grandeza explicada na página do valor esperado: a vantagem de +10 % nesta odd, ou o seu valor teórico. Divide-o por b e voltas a f* = 0,10 / 1,20. Uma fração de Kelly é uma vantagem reescalada pela odd, e mais nada.

Uma fórmula nascida longe do relvado

Kelly publicou esta fórmula em 1956, num artigo de teoria da informação. O desporto não tinha nada que ver com isso.

Depois, Thorp aplicou-a a jogos de azar favoráveis. Primeiro o blackjack, depois os mercados financeiros. Foi ele que formalizou a versão fracionada, como resposta prática à incerteza sobre p. As apostas desportivas herdaram-na tal como estava. A fórmula não muda. Só muda a origem da estimativa.

Porque é que o crescimento composto muda a pergunta

Se a tua bankroll perde 50 %, precisa de um ganho de 100 % para voltar ao ponto de partida. O crescimento geométrico tem em conta esta assimetria. O valor esperado aritmético ignora-a por completo.

Se olhares só para o valor esperado de uma aposta, podes acabar a apostar uma fatia enorme da bankroll assim que aparece uma vantagem. Nesse cálculo, um ganho compensa sempre uma perda. O crescimento composto sobre uma bankroll repetida acrescenta uma penalização, e a penalização é a própria variância. A partir de certo ponto, mesmo com uma vantagem positiva, apostar mais puxa o crescimento para baixo. O Kelly encontra o equilíbrio entre a vantagem e essa variância. É esse o seu trabalho todo.

Porque é que f* reage tanto a um pequeno erro em p

A fórmula tem uma única fonte de incerteza, a probabilidade que introduzes. Trata-a como certa, e nenhuma estimativa no terreno o consegue ser.

Uns pontos a mais em p chegam para transformar uma fração sensata numa aposta sobredimensionada. Fica na odd de 2,20. Se estimares a probabilidade em 55 % quando é de 50 %, f* passa de 8,33 % para 17,50 %. Mais do dobro, por cinco pontos de erro. Eu só preciso deste dobro para desconfiar do Kelly pleno.

É essa sensibilidade, mais do que a fórmula, que te empurra para o risco de ruína quando jogas o Kelly pleno.

Quando f* ≤ 0: sem vantagem, sem aposta

Se a tua probabilidade estimada não supera a que a odd exige, f* desce a zero ou abaixo. A fórmula já não tem nada para dimensionar. Não é um erro. É o resultado normal sempre que a vantagem teórica não é positiva.

Mesma odd de 2,20, mas agora põe a probabilidade em 40 % em vez de 50 %. A vantagem fica negativa: b·p − q = 1,20 × 0,40 − 0,60 = −0,12, logo f* = −0,12 / 1,20 = −10 %. Não sai daí nenhuma aposta. Nem positiva, nem invertida.

Experimenta estes 40 % na calculadora acima. Não vais ver aparecer «−10 %». Vais ver um aviso a dizer que, com estes valores, não há nenhuma vantagem positiva. Gosto que a página se comporte assim: um número negativo no ecrã acaba sempre por ganhar um sentido que não tem.

O Kelly pleno ninguém o joga sozinho

O Kelly pleno maximiza o crescimento teórico a longo prazo, ao preço de uma variância enorme. Mesmo com uma vantagem verdadeira, ver a bankroll cair para metade ou pior continua a ser estatisticamente possível.

O Kelly fracionado abdica de parte do crescimento teórico. Em troca, protege-te muito melhor de um erro de estimativa, a única variável que a fórmula não sabe medir. É a forma que se usa na prática, porque p nunca é tão sólida como a fórmula supõe.

Há outra propriedade que parece ao contrário. Acima de f*, cada fatia extra da bankroll reduz o crescimento composto. Em 2f*, o crescimento chega a zero. Apostar o dobro da fração calculada não duplica o ganho possível. Leva o crescimento teórico a zero, com toda a variância de uma aposta duas vezes maior.

O que a calculadora não te diz

O resultado da calculadora é a fração que a tua probabilidade implica. Não é uma aposta recomendada pela OddScore.

A OddScore não produz uma probabilidade desportiva própria, independente do mercado. A plataforma não pode, por isso, verificar nem corrigir o p que introduzes. A tua fração vale exatamente o que vale a tua estimativa, tal como a vantagem de um value bet depende da probabilidade que está por trás. Nem a fórmula nem a plataforma podem garantir essa estimativa por ti.

O Kelly ao lado dos outros planos de aposta

O Kelly é uma das formas de dimensionar uma aposta a partir de uma bankroll. Há também a aposta fixa, a percentagem fixa, as progressões. Cada uma pesa de maneira diferente no risco de ruína e na profundidade das quedas.

Comparar os planos de aposta, avaliados pelo risco e não por um rendimento prometido →

Pôr em prática

Aplique este guia a odds reais.

Explore o mercado

Os movimentos de odds são apenas parte da história. Veja os próximos temas para ler.

Perguntas frequentes

Fontes e método