Das Kelly-Kriterium berechnet den Bankroll-Anteil, der aus einem als bekannt vorausgesetzten Vorteil einzusetzen ist: f* = (b·p − q) / b, mit b als Dezimalquote minus 1, p als geschätzter Wahrscheinlichkeit und q = 1 − p. Bei einer Quote von 2,20, einer geschätzten Wahrscheinlichkeit von 50 % und einer Bankroll von 1.000 €: f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 8,33 %, also ein Einsatz von 83,33 € (41,67 € bei Halb-Kelly). Die Berechnung setzt voraus, dass p mit Sicherheit bekannt ist — in der Praxis wird p immer geschätzt, und eine Überschätzung führt zu einem überdimensionierten Einsatz.
Was die Formel optimiert
Das Kelly-Kriterium berechnet keinen erwarteten Gewinn: Es bemisst den Bankroll-Anteil, der die geometrische Wachstumsrate eines über viele Entscheidungen wiederholt eingesetzten Kapitals maximiert. Das ist nicht dasselbe wie die Maximierung des Erwartungswerts einer einzelnen Wette oder ihres wahrscheinlichsten Ergebnisses.
Diese Unterscheidung zählt, weil ein zu großer Anteil, selbst bei einem realen Vorteil, das langfristige Wachstum verlangsamt statt es zu beschleunigen: Das Kapital erholt sich nach einer Verlustserie schlechter. Kelly beantwortet eine präzise Frage — welcher Bankroll-Anteil maximiert das Zinseszinswachstum — nicht die breitere Frage, „wie viel soll ich setzen".
Was „optimal" hier nicht bedeutet. Das Kelly-Kriterium maximiert eine geometrische Wachstumsrate über unendlich viele theoretische Wiederholungen, nicht den Gewinn einer Wette und auch nicht den Erwartungswert über eine endliche Anzahl von Wetten. Bei einem kurzen Verlauf liefert ein kleinerer Anteil als f* oft ein besseres Endergebnis.
Die Formel
Drei Variablen genügen: die Dezimalquote, die geschätzte Wahrscheinlichkeit, sonst nichts.
b = Dezimalquote − 1
p = geschätzte Wahrscheinlichkeit, q = 1 − p
f* = (b·p − q) / b
Bei einer Quote von 2,20, einer geschätzten Wahrscheinlichkeit von 50 % und einer Bankroll von 1.000 €: b = 1,20, q = 0,50, f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 0,10 / 1,20 = 8,33 %, also ein Einsatz von 83,33 €.
Den Kelly-Anteil und den daraus folgenden Einsatz berechnen
Gib die angebotene Quote, deine geschätzte Wahrscheinlichkeit und deine Bankroll ein.
Komma oder Punkt möglich: 2,20 wie 2.20.
Deine Schätzung, die aus einer anderen Quelle als der Quote selbst stammen muss.
Dient nur zur Veranschaulichung des Einsatzes. Es werden keine Daten gespeichert.
Ergebnis
- Kelly-Anteil
- 8,33 %
- Aus der Formel resultierender Einsatz
- 83,33 €
- Halb-Kelly-Einsatz
- 41,67 €
Achtung:
Der Anteil hängt vollständig von deiner geschätzten Wahrscheinlichkeit ab: Eine Überschätzung von p führt zu einer Übergröße des Einsatzes. Dieses Ergebnis ist nie ein empfohlener Einsatz.
Eine andere Lesart derselben Berechnung, konsistent mit der Seite zum Value Bet: f* = Erwartungswert pro eingesetzter Einheit ÷ b. Dieser Zähler ist dieselbe Größe, die auf der Seite zum Erwartungswert behandelt wird — der Vorteil von +10 % bei dieser Quote, bzw. ihr theoretischer Wert — also f* = 0,10 / 1,20, dasselbe Ergebnis. Der Kelly-Anteil ist nie mehr als ein durch die Quote neu skalierter Vorteil.
Woher die Formel stammt
Kelly veröffentlichte diese Formel 1956, im Rahmen der Informationstheorie, nicht der Sportwetten. Thorp wandte sie auf günstige Glücksspiele an — zuerst Blackjack, dann Finanzmärkte — und formalisierte ihre fraktionierte Version als praktische Antwort auf die Unsicherheit über p. Sportwetten erben sie direkt: Die Formel bleibt gleich, nur die Quelle der Schätzung ändert sich.
Warum geometrisches Wachstum die Frage verändert
Ein Kapital, das 50 % verliert, braucht einen Gewinn von 100 %, um wieder auf den Ausgangsstand zu kommen — nicht 50 %. Diese Asymmetrie berücksichtigt das geometrische Wachstum, ein arithmetischer Erwartungswert dagegen ignoriert sie vollständig.
Die Maximierung des arithmetischen Erwartungswerts einer einzelnen Wette kann dazu führen, riesige Bankroll-Anteile einzusetzen, sobald ein Vorteil besteht, weil in dieser Rechnung ein einzelner Gewinn einen einzelnen Verlust stets ausgleicht. Die Maximierung der geometrischen Wachstumsrate einer wiederholt eingesetzten Bankroll führt dagegen eine Strafe für die Varianz selbst ein: Ein zu großer Anteil, selbst bei positivem Vorteil, verringert am Ende das Zinseszinswachstum, statt es zu erhöhen. Genau diesen Kompromiss zwischen Vorteil und Varianz löst die Kelly-Formel — und nur sie.
Warum f* extrem empfindlich auf Fehler bei p reagiert
Die Formel kennt nur eine einzige Quelle der Unsicherheit: die eingegebene Wahrscheinlichkeit. Sie behandelt sie dennoch, als wäre sie mit Sicherheit bekannt, was keine Schätzung aus der Praxis garantieren kann.
Eine Überschätzung von p um wenige Punkte reicht aus, um einen vernünftigen Anteil in eine Überdimensionierung zu verwandeln. Bei derselben Quote von 2,20 lässt eine geschätzte Wahrscheinlichkeit von 55 % statt tatsächlicher 50 % f* von 8,33 % auf 16,67 % steigen — das Doppelte, für einen Schätzfehler von nur fünf Punkten. Diese Empfindlichkeit, nicht die Formel selbst, führt näher an das Ruinrisiko heran, wenn sie mit vollem Kelly angewendet wird.
Der Fall f* ≤ 0: kein Vorteil, kein Einsatz
Liegt die geschätzte Wahrscheinlichkeit nicht über dem, was die Quote verlangt, ist f* negativ oder null — und die Formel hat nichts zu bemessen. Das ist kein Rechenfehler: Es ist das erwartete Ergebnis, sobald der theoretische Vorteil nicht positiv ist.
Bei derselben Quote von 2,20 lässt eine geschätzte Wahrscheinlichkeit von 40 % statt 50 % den Vorteil ins Negative kippen: b·p − q = 1,20 × 0,40 − 0,60 = −0,12, also f* = −0,12 / 1,20 = −10 %. Die Formel liefert dann keinen einzusetzenden Betrag — weder einen positiven noch eine umgekehrte Position.
Ein negatives f* bedeutet nicht „dagegen wetten" oder „umgekehrt setzen". Bei Sportwetten gibt es keine symmetrische Position, anders als auf manchen anderen Märkten. Ein f* ≤ 0 bedeutet schlicht: kein Einsatz, bei dieser Wahrscheinlichkeit und dieser Quote.
Volles Kelly wird nie allein verwendet
Volles Kelly maximiert das theoretische langfristige Wachstum, um den Preis einer erheblichen Varianz — Bankroll-Einbrüche von 50 % oder mehr bleiben statistisch möglich, selbst bei einem realen Vorteil.
| Eingesetzter Anteil | Wirkung auf das Wachstum | Wirkung auf die Einbrüche |
|---|---|---|
| Volles Kelly (f*) | Maximales theoretisches Wachstum | Sehr ausgeprägte Bankroll-Einbrüche, selbst bei realem Vorteil |
| Halb-Kelly (f*/2) | Etwa drei Viertel des theoretischen Wachstums | Deutlich reduzierte Einbrüche |
| Viertel-Kelly (f*/4) | Langsameres Wachstum | Begrenzte Einbrüche, hohe Toleranz gegenüber einem Fehler bei p |
Fraktioniertes Kelly opfert einen Teil des theoretischen Wachstums, um die Exposition gegenüber einem Schätzfehler stark zu reduzieren — der einzigen Variable, die die Formel nicht selbst messen kann. Deshalb wird in der Praxis nur diese Form tatsächlich angewendet, gerade weil p nie mit der Sicherheit bekannt ist, die die Formel voraussetzt.
Die Formel hat eine weitere wenig intuitive Eigenschaft: Jenseits von f* verringert jeder zusätzliche Anteil das Zinseszinswachstum, statt es zu erhöhen, bis es bei 2f* ganz verschwindet. Das Doppelte des berechneten Anteils zu setzen verdoppelt nicht das Risiko für einen proportionalen Gewinn — es senkt das theoretische Wachstum auf null, bei der vollen Varianz eines doppelt so großen Einsatzes.
„Kelly maximiert den Gewinn."
Nein: Kelly maximiert eine theoretische geometrische Wachstumsrate, berechnet über unendlich viele Wiederholungen und eine als exakt vorausgesetzte Wahrscheinlichkeit. Bei einem realen, endlichen Verlauf, der auf einer ungefähren Schätzung beruht, liefert ein kleinerer Anteil als f* sehr oft ein besseres Ergebnis.
Was das Ergebnis des Rechners nicht ist
Das oben vom Rechner angezeigte Ergebnis ist der Anteil, den die Formel für die eingegebene Wahrscheinlichkeit impliziert — nie ein von OddScore empfohlener Einsatz. Die Plattform liefert keine vom Markt unabhängige Sportwahrscheinlichkeit: Sie kann den vom Leser eingegebenen Wert von p also weder validieren noch korrigieren.
Die Qualität des angezeigten Anteils hängt vollständig von der Qualität dieser Schätzung ab, genau wie der Vorteil eines Value Bets von der ihn speisenden Wahrscheinlichkeit abhängt. Niemand — weder die Formel noch die Plattform — kann diese Qualität anstelle des Lesers garantieren.
Kelly unter den Einsatzstrategien
Das Kelly-Kriterium ist nur eine von mehreren Möglichkeiten, einen Einsatz aus einer Bankroll zu bemessen. Andere Methoden existieren — fester Einsatz, fester Prozentsatz, Progressionen — jede mit unterschiedlicher Wirkung auf Ruinrisiko und Ausmaß der Einbrüche.
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Verantwortungsvolles Spielen. Ein Einsatz kann vollständig verloren gehen, unabhängig vom berechneten Anteil. Verwende für Wetten niemals Geld, das für den Alltag, die Wohnung, Rechnungen oder deine Notreserve gebraucht wird, und nutze die Limitfunktionen oder Selbstsperren, die erlaubte Anbieter zur Verfügung stellen. Mehr zum verantwortungsvollen Spielen.
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Einsatzstrategien vergleichenHäufige Fragen
Was ist das Kelly-Kriterium?
Es ist eine Formel, die den Bankroll-Anteil berechnet, der auf eine Wette gesetzt werden sollte, ausgehend von einer Quote und einer geschätzten Wahrscheinlichkeit. Sie maximiert die geometrische Wachstumsrate einer wiederholt eingesetzten Bankroll, nicht den Gewinn einer einzelnen Wette.
Wie berechnet man den Kelly-Anteil?
f* = (b·p − q) / b, mit b als Dezimalquote minus 1, p als geschätzter Wahrscheinlichkeit und q = 1 − p. Bei einer Quote von 2,20 und einer geschätzten Wahrscheinlichkeit von 50 % ergibt sich f* aus (0,60 − 0,50) / 1,20, also 8,33 % der Bankroll.
Maximiert das Kelly-Kriterium den Gewinn einer Wette?
Nein. Es maximiert die geometrische Wachstumsrate einer Bankroll über eine lange Reihe wiederholter Entscheidungen, nicht den Erwartungswert einer einzelnen Wette oder ihr wahrscheinlichstes Ergebnis. Eine einzelne Wette kann durchaus verlieren.
Was passiert, wenn f* negativ oder null ist?
Es wird kein Einsatz getätigt. Ein f* ≤ 0 bedeutet, dass die geschätzte Wahrscheinlichkeit nicht über dem liegt, was die angebotene Quote verlangen würde: Die Formel hat nichts zu bemessen.
Warum fraktioniertes statt volles Kelly verwenden?
Weil die Formel extrem empfindlich auf Fehler bei p reagiert, das in der Praxis fast nie genau bekannt ist. Ein Bruchteil des berechneten f* — halb oder ein Viertel — reduziert die Varianz deutlich, zulasten eines langsameren theoretischen Wachstums.
Schützt das Kelly-Kriterium vor dem Ruinrisiko?
Nein, nicht wenn es auf einer überschätzten Wahrscheinlichkeit beruht. Eine zu optimistische Schätzung erzeugt einen zu großen Anteil, was näher an das Ruinrisiko heranführt, das die Formel bei korrektem p eigentlich vermeiden soll.
Empfiehlt OddScore einen Einsatz auf Basis des Kelly-Kriteriums?
Nein. Der Rechner zeigt den Anteil, den die vom Leser eingegebene Wahrscheinlichkeit impliziert — nie einen von der Plattform empfohlenen Einsatz. Die Qualität des Ergebnisses hängt vollständig von der Qualität der eingegebenen Schätzung ab.
Quellen & Methodik
Diese Seite stützt sich auf Kellys grundlegenden Aufsatz zur optimalen Bemessung eines wiederholt eingesetzten Einsatzes und auf Thorps Arbeiten, die es auf günstige Spiele und Märkte angewendet haben, sowie auf die von OddScore entwickelte Methodik zur Quotenanalyse.
- Die Formel als Bemessung darstellen, die an eine vom Leser gelieferte Wahrscheinlichkeit gebunden ist, nie als von der Plattform empfohlenen Einsatz.
- Den Fall f* ≤ 0 explizit behandeln, statt ihn hinter einem stillen Einsatz von null zu verstecken.
- Die Empfindlichkeit gegenüber Schätzfehlern bei p auf die eigene Ruinrisiko-Seite verweisen, statt sie hier zu duplizieren.
- Das fraktionierte Kelly in den Mittelpunkt stellen, die einzige tatsächlich genutzte Form, statt des theoretischen vollen Kelly.