Il criterio di Kelly calcola la quota di bankroll da impegnare a partire da un vantaggio supposto noto: f* = (b·p − q) / b, con b la quota decimale meno 1, p la probabilità stimata e q = 1 − p. Con una quota di 2,20, una probabilità stimata al 50 % e una bankroll di 1.000 €: f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 8,33 %, cioè una puntata di 83,33 € (41,67 € a mezzo Kelly). Il calcolo suppone p conosciuta con certezza — nella pratica è sempre stimata, e una sovrastima produce un sovradimensionamento della puntata.
Cosa ottimizza la formula
Il criterio di Kelly non calcola un guadagno atteso: dimensiona la quota di bankroll che massimizza il tasso di crescita geometrica di un capitale ripetuto su un gran numero di decisioni. Non è la stessa cosa che massimizzare il valore atteso di una scommessa isolata, né il suo esito più probabile.
La distinzione conta perché una frazione troppo grande, anche con un vantaggio reale, rallenta la crescita nel lungo periodo invece di accelerarla: il capitale si riprende peggio dopo una serie di perdite. Kelly risponde a una domanda precisa — quale quota della bankroll massimizza la crescita composta — non alla domanda più ampia di «quanto puntare».
Cosa non significa «ottimale» qui. Il criterio di Kelly massimizza un tasso di crescita geometrica su un numero infinito di ripetizioni teoriche, non il guadagno di una scommessa, e nemmeno il valore atteso su un numero finito di scommesse. Su uno storico breve, una frazione più piccola di f* produce spesso un risultato finale superiore.
La formula
Bastano tre variabili: la quota decimale, la probabilità stimata, e nient'altro.
b = quota decimale − 1
p = probabilità stimata, q = 1 − p
f* = (b·p − q) / b
Con una quota di 2,20, una probabilità stimata al 50 % e una bankroll di 1.000 €: b = 1,20, q = 0,50, f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 0,10 / 1,20 = 8,33 %, cioè una puntata di 83,33 €.
Calcola la frazione di Kelly e la puntata che implica
Inserisci la quota proposta, la tua probabilità stimata e la tua bankroll.
Virgola o punto accettati: 2,20 come 2.20.
La tua stima, che deve provenire da una fonte diversa dalla quota stessa.
Serve solo a illustrare la puntata. Nessun dato viene registrato.
Risultato
- Frazione di Kelly
- 8,33 %
- Puntata derivata dalla formula
- 83,33 €
- Puntata a mezzo Kelly
- 41,67 €
Attenzione:
La frazione dipende interamente dalla tua probabilità stimata: sovrastimare p produce un sovradimensionamento della puntata. Questo risultato non è mai una puntata consigliata.
Un'altra lettura dello stesso calcolo, coerente con la pagina sul value bet: f* = valore atteso per unità puntata ÷ b. Questo numeratore è la stessa grandezza trattata nella pagina sul valore atteso — il vantaggio del +10 % su questa quota, ovvero il suo valore teorico — quindi f* = 0,10 / 1,20, risultato identico. La frazione di Kelly non è mai altro che un vantaggio riscalato dalla quota.
Da dove viene la formula
Kelly ha pubblicato questa formula nel 1956, in un contesto di teoria dell'informazione, non di scommesse sportive. Thorp l'ha applicata ai giochi d'azzardo favorevoli — prima il blackjack, poi i mercati finanziari — e ne ha formalizzato la versione frazionata come risposta pratica all'incertezza su p. Le scommesse sportive la ereditano direttamente: la formula resta identica, cambia solo la fonte della stima.
Perché la crescita geometrica cambia la domanda
Un capitale che perde il 50 % ha bisogno di un guadagno del 100 % per tornare al livello di partenza — non del 50 %. È questa asimmetria che la crescita geometrica considera, e che un valore atteso aritmetico ignora completamente.
Massimizzare il valore atteso aritmetico di una scommessa isolata può portare a impegnare frazioni enormi della bankroll non appena esiste un vantaggio, perché in quel calcolo un guadagno isolato compensa sempre una perdita isolata. Massimizzare la crescita geometrica di una bankroll ripetuta introduce invece una penalità per la varianza stessa: una frazione troppo grande, anche con un vantaggio positivo, finisce per ridurre la crescita composta invece di aumentarla. È proprio questo compromesso tra vantaggio e varianza che risolve la formula di Kelly — e solo lei.
Perché f* è ipersensibile all'errore su p
La formula riconosce una sola fonte di incertezza: la probabilità inserita. Eppure la tratta come se fosse conosciuta con certezza, cosa che nessuna stima sul campo può garantire.
Sovrastimare p di pochi punti basta a trasformare una frazione ragionevole in un sovradimensionamento. Con la stessa quota di 2,20, una probabilità stimata al 55 % invece del 50 % reale fa passare f* dall'8,33 % al 16,67 % — il doppio, per uno scarto di stima di soli cinque punti. È questa sensibilità, non la formula in sé, ad avvicinare al rischio di rovina quando viene applicata in Kelly pieno.
Il caso f* ≤ 0: nessun vantaggio, nessuna puntata
Quando la probabilità stimata non supera quella richiesta dalla quota, f* è negativo o nullo — e la formula non ha nulla da dimensionare. Non è un errore di calcolo: è il risultato atteso non appena il vantaggio teorico non è positivo.
Con la stessa quota di 2,20, una probabilità stimata al 40 % invece del 50 % fa scivolare il vantaggio in negativo: b·p − q = 1,20 × 0,40 − 0,60 = −0,12, quindi f* = −0,12 / 1,20 = −10 %. La formula non produce allora alcun importo da impegnare — né positivo, né una posizione invertita.
Un f* negativo non significa «scommettere contro» né «puntare al contrario». Non esiste una posizione simmetrica nelle scommesse sportive, a differenza di altri mercati. Un f* ≤ 0 significa semplicemente: nessuna puntata, con questa probabilità e questa quota.
Il Kelly pieno non si usa mai da solo
Il Kelly pieno massimizza la crescita teorica nel lungo periodo, al prezzo di una varianza considerevole — cali di bankroll del 50 % o più restano statisticamente possibili anche con un vantaggio reale.
| Frazione impegnata | Effetto sulla crescita | Effetto sui cali |
|---|---|---|
| Kelly pieno (f*) | Crescita teorica massima | Cali di bankroll molto marcati, anche con un vantaggio reale |
| Mezzo Kelly (f*/2) | Circa tre quarti della crescita teorica | Cali nettamente ridotti |
| Quarto di Kelly (f*/4) | Crescita più lenta | Cali limitati, tolleranza elevata a un errore su p |
Il Kelly frazionato sacrifica parte della crescita teorica per ridurre fortemente l'esposizione a un errore di stima — l'unica variabile che la formula non sa misurare da sola. È l'unica forma realmente applicata nella pratica, proprio perché p non è mai conosciuta con la certezza che la formula suppone.
La formula ha un'altra proprietà poco intuitiva: oltre f*, ogni frazione aggiuntiva riduce la crescita composta invece di aumentarla, fino ad annullarla del tutto a 2f*. Puntare il doppio della frazione calcolata non raddoppia il rischio per un guadagno proporzionale — riporta la crescita teorica a zero, con tutta la varianza di una puntata due volte più grande.
«Kelly massimizza il guadagno.»
No: Kelly massimizza un tasso di crescita geometrica teorico, calcolato su un numero infinito di ripetizioni e una probabilità supposta esatta. Su uno storico reale, finito e costruito su una stima approssimativa, una frazione più piccola di f* produce molto spesso un risultato migliore.
Cosa non è il risultato del calcolatore
Il risultato mostrato dal calcolatore sopra è la frazione che la formula implica per la probabilità inserita — mai una puntata consigliata da OddScore. La piattaforma non produce alcuna probabilità sportiva indipendente dal mercato: non può quindi né convalidare né correggere il valore di p inserito dal lettore.
La qualità della frazione mostrata dipende interamente da quella di questa stima, esattamente come il vantaggio di un value bet dipende dalla probabilità che lo alimenta. Nessuno — né la formula, né la piattaforma — può garantire questa qualità al posto del lettore.
Kelly tra i piani di puntata
Il criterio di Kelly è solo uno dei modi per dimensionare una puntata a partire da una bankroll. Esistono altri metodi — puntata fissa, percentuale fissa, progressioni — ciascuno con un effetto diverso sul rischio di rovina e sull'ampiezza dei cali.
Confronta i piani di puntata, giudicati sul rischio e non su un rendimento promesso →
Gioco responsabile. Una puntata può essere persa per intero, qualunque sia la frazione calcolata. Non destinare mai alle scommesse il denaro necessario alla vita quotidiana, alla casa, alle bollette o ai tuoi risparmi di sicurezza, e usa gli strumenti di limitazione del deposito o di autoesclusione offerti dagli operatori autorizzati. Scopri di più sul gioco responsabile.
Esplora il mercato
I movimenti delle quote sono solo una parte della storia. Ecco i prossimi argomenti da leggere.
Redditività e rischio: la guida completa
Il quadro completo: profitto, ROI, valore atteso, varianza, campione, drawdown, rischio.
Leggi la guidaValue bet: cosa misura davvero lo scarto
Il vantaggio che la formula di Kelly elabora, senza calcolarlo essa stessa.
Capire il value betValore atteso: il vantaggio teorico di una scommessa
Cosa significa il vantaggio in termini di valore atteso, prima di ogni dimensionamento.
Capire l'EVVarianza: perché i risultati oscillano
Ciò che il Kelly frazionato cerca di attenuare, senza mai annullarlo.
Capire la varianzaRischio di rovina: esaurire una bankroll
Cosa può provocare una frazione di Kelly sovrastimata.
Capire il rischio di rovinaPiani di puntata: confrontare i metodi
Dove collocare Kelly tra gli altri modi di dimensionare una puntata.
Confronta i piani di puntataDomande frequenti
Che cos'è il criterio di Kelly?
È una formula che calcola la quota di bankroll da impegnare su una scommessa, a partire da una quota e da una probabilità stimata. Massimizza il tasso di crescita geometrica di una bankroll ripetuta su un gran numero di decisioni, non il guadagno di una scommessa isolata.
Come si calcola la frazione di Kelly?
f* = (b·p − q) / b, con b la quota decimale meno 1, p la probabilità stimata e q = 1 − p. Con una quota di 2,20 e una probabilità stimata al 50 %, f* vale (0,60 − 0,50) / 1,20, cioè l'8,33 % della bankroll.
Il criterio di Kelly massimizza il guadagno di una scommessa?
No. Massimizza il tasso di crescita geometrica di una bankroll su una lunga serie di decisioni ripetute, non il valore atteso di una scommessa isolata né il suo esito più probabile. Una scommessa isolata può benissimo perdere.
Cosa succede se f* è negativo o nullo?
Non viene impegnata alcuna puntata. Un f* ≤ 0 significa che la probabilità stimata non è considerata superiore a quella richiesta dalla quota proposta: la formula non ha nulla da dimensionare.
Perché usare un Kelly frazionato invece del Kelly pieno?
Perché la formula è ipersensibile all'errore su p, quasi sempre poco conosciuto nella pratica. Una frazione del f* calcolato — metà o un quarto di Kelly — riduce fortemente la varianza in cambio di una crescita teorica più lenta.
Il criterio di Kelly protegge dal rischio di rovina?
No, non se si basa su una probabilità sovrastimata. Una stima troppo ottimistica produce una frazione troppo grande, il che avvicina al rischio di rovina che la formula dovrebbe evitare quando p è corretta.
OddScore consiglia una puntata a partire dal criterio di Kelly?
No. Il calcolatore mostra la frazione implicata dalla probabilità inserita dal lettore, mai una puntata consigliata dalla piattaforma. La qualità del risultato dipende interamente da quella della stima fornita.
Fonti e metodologia
Questa pagina si basa sull'articolo fondativo di Kelly sul dimensionamento ottimale di una puntata ripetuta e sui lavori di Thorp che lo hanno applicato a giochi e mercati favorevoli, insieme alla metodologia di analisi delle quote sviluppata da OddScore.
- Presentare la formula come un dimensionamento condizionato a una probabilità fornita dal lettore, mai come una puntata consigliata dalla piattaforma.
- Trattare il caso f* ≤ 0 in modo esplicito, invece di nasconderlo dietro una puntata a zero silenziosa.
- Rimandare la sensibilità all'errore di stima di p alla pagina dedicata al rischio di rovina invece di svilupparla qui due volte.
- Concentrarsi sul Kelly frazionato, l'unica forma realmente utilizzata, invece del Kelly pieno teorico.