Criterio di Kelly: cosa dimensiona davvero la formula

Cosa cerca di ottimizzare Kelly

Il criterio di Kelly non calcola una vincita attesa. Ti dà la quota di bankroll che fa crescere i tuoi soldi più in fretta su una lunghissima serie di decisioni. È il tasso di crescita geometrica.

Massimizzare il valore atteso di una scommessa è un altro obiettivo. Lo è anche inseguire il suo esito più probabile. La differenza pesa: anche con un vantaggio reale, una frazione troppo grande rallenta la crescita invece di accelerarla. Dopo una serie di perdite, la bankroll risale più lentamente.

Kelly risponde quindi a una domanda stretta. Quale quota della bankroll massimizza la crescita composta? Non ti dice quanto mettere sulla partita di stasera.

La formula in una riga

Servono due dati: la quota decimale e la tua probabilità stimata.

b = quota decimale − 1 p = probabilità stimata, q = 1 − p f* = (b·p − q) / b

Prendi una quota di 2,20, una probabilità stimata al 50 % e una bankroll di 1.000 €. Ottieni b = 1,20 e q = 0,50. Quindi f* = (1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20 = 0,10 / 1,20 = 8,33 %. Una puntata di 83,33 €.

Lo stesso calcolo si può leggere in un altro modo, come nella pagina sul value bet. Il numeratore è il valore atteso per unità puntata, la grandezza spiegata nella pagina sul valore atteso: il vantaggio del +10 % su questa quota, ovvero il suo valore teorico. Dividilo per b e torni a f* = 0,10 / 1,20. Una frazione di Kelly è un vantaggio riscalato sulla quota, e basta.

Una formula nata lontano dal campo

Kelly ha pubblicato questa formula nel 1956, in un articolo di teoria dell'informazione. Lo sport non c'entrava niente.

Poi Thorp l'ha applicata ai giochi d'azzardo favorevoli. Prima il blackjack, poi i mercati finanziari. È lui che ha formalizzato la versione frazionata, come risposta pratica all'incertezza su p. Le scommesse sportive l'hanno presa così com'era. La formula non cambia. Cambia solo da dove arriva la stima.

Perché la crescita composta cambia la domanda

Se la tua bankroll perde il 50 %, ti serve un guadagno del 100 % per tornare al punto di partenza. La crescita geometrica tiene conto di questa asimmetria. Il valore atteso aritmetico la ignora del tutto.

Se guardi solo il valore atteso di una scommessa, puoi finire a puntare una fetta enorme della bankroll appena compare un vantaggio. In quel calcolo, una vincita compensa sempre una perdita. La crescita composta su una bankroll ripetuta aggiunge una penalità, e la penalità è la varianza stessa. Oltre un certo punto, anche con un vantaggio positivo, puntare di più trascina giù la crescita. Kelly trova l'equilibrio tra il vantaggio e quella varianza. Tutto qui il suo lavoro.

Perché f* reagisce così forte a un piccolo errore su p

La formula ha una sola fonte di incertezza, la probabilità che inserisci. La tratta come certa, e nessuna stima sul campo può esserlo.

Pochi punti in più su p bastano a trasformare una frazione sensata in una puntata sovradimensionata. Resta sulla quota di 2,20. Se stimi la probabilità al 55 % quando è il 50 %, f* passa dall'8,33 % al 17,50 %. Più del doppio, per cinque punti di errore. Io metto questo raddoppio tra le ragioni più concrete per diffidare del Kelly pieno.

È questa sensibilità, più della formula, a spingerti verso il rischio di rovina quando giochi il Kelly pieno.

Quando f* ≤ 0: niente vantaggio, niente puntata

Se la tua probabilità stimata non supera quella richiesta dalla quota, f* scende a zero o sotto. La formula non ha più niente da dimensionare. Non è un bug. È il risultato normale ogni volta che il vantaggio teorico non è positivo.

Stessa quota di 2,20, ma ora metti la probabilità al 40 % invece del 50 %. Il vantaggio diventa negativo: b·p − q = 1,20 × 0,40 − 0,60 = −0,12, quindi f* = −0,12 / 1,20 = −10 %. Non ne esce nessuna puntata. Né positiva, né invertita.

Prova questo 40 % nel calcolatore qui sopra. Non vedrai comparire «−10 %». Vedrai un avviso che dice che con questi valori non c'è alcun vantaggio positivo. Mi sembra la scelta giusta per questa pagina: un numero negativo sullo schermo finisce sempre per farsi attribuire un significato che non ha.

Il Kelly pieno non lo gioca nessuno da solo

Il Kelly pieno massimizza la crescita teorica nel lungo periodo, al prezzo di una varianza enorme. Anche con un vero vantaggio, vedere la bankroll dimezzarsi o peggio resta statisticamente possibile.

Il Kelly frazionato rinuncia a una parte della crescita teorica. In cambio ti protegge molto meglio da un errore di stima, l'unica variabile che la formula non sa misurare. È la forma che si usa nella pratica, perché p non è mai solida come la formula suppone.

C'è un'altra proprietà che sembra al contrario. Oltre f*, ogni fetta di bankroll in più riduce la crescita composta. A 2f* la crescita arriva a zero. Puntare il doppio della frazione calcolata non raddoppia il guadagno possibile. Porta la crescita teorica a zero, con tutta la varianza di una puntata doppia.

Cosa non ti dice il calcolatore

Il risultato del calcolatore è la frazione che la tua probabilità implica. Non è una puntata consigliata da OddScore.

OddScore non produce una propria probabilità sportiva, indipendente dal mercato. La piattaforma non può quindi verificare né correggere il p che inserisci. La tua frazione vale esattamente quanto vale la tua stima, come il vantaggio di un value bet dipende dalla probabilità che c'è dietro. Né la formula né la piattaforma possono garantire quella stima al posto tuo.

Kelly accanto agli altri piani di puntata

Kelly è uno dei modi per dimensionare una puntata a partire da una bankroll. Ci sono anche la puntata fissa, la percentuale fissa, le progressioni. Ognuno pesa in modo diverso sul rischio di rovina e sulla profondità dei cali.

Confronta i piani di puntata, giudicati sul rischio e non su un rendimento promesso →

Mettilo in pratica

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